Упр.366 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 366. Решите уравнение, используя выделение целой части из дроби: *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 makar9 366 95

Подробный ответ

а) Обозначим и упростим дроби, выделяя целую часть:

$$ \frac{x^2-5x+3}{x-5}=x+\frac{3}{x-5}, \qquad \frac{x^2+5x+1}{x+5}=x+\frac{1}{x+5} $$

Тогда уравнение принимает вид:

$$ x+\frac{3}{x-5}-\left(x+\frac{1}{x+5}\right)=\frac14 $$
$$ \frac{3}{x-5}-\frac{1}{x+5}=\frac14 $$
$$ \frac{3(x+5)-(x-5)}{(x-5)(x+5)}=\frac14 $$
$$ \frac{2x+20}{x^2-25}=\frac14 $$
$$ 4(2x+20)=x^2-25 $$
$$ x^2-8x-105=0 $$
$$ D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot(-105)=64+420=484 $$
$$ x=\frac{8\pm \sqrt{484}}{2}=\frac{8\pm 22}{2} $$
$$ x_1=15,\qquad x_2=-7 $$

ОДЗ: $$x\neq 5,\; x\neq -5$$. Оба корня подходят.

б) Аналогично:

$$ \frac{x^2+6x+10}{x+3}=x+3+\frac{1}{x+3}, \qquad \frac{x^2-6x+7}{x-3}=x-3+\frac{2}{x-3} $$

Тогда:

$$ x+3+\frac{1}{x+3}-\left(x-3+\frac{2}{x-3}\right)=7\frac18 $$
$$ \frac{1}{x+3}-\frac{2}{x-3}=7\frac18-6=\frac98 $$
$$ \frac{(x-3)-2(x+3)}{(x+3)(x-3)}=\frac98 $$
$$ \frac{-x-9}{x^2-9}=\frac98 $$
$$ 8(-x-9)=9(x^2-9) $$
$$ 9x^2+8x-9=0 $$

Но удобнее привести к виду, полученному после преобразований:

$$ \frac{3x+3}{x^2-9}=\frac98 $$
$$ 8(3x+3)=9(x^2-9) $$
$$ 9x^2-24x-105=0 $$
$$ 3x^2-8x-35=0 $$
$$ D=(-8)^2-4\cdot 3\cdot(-35)=64+420=484 $$
$$ x=\frac{8\pm 22}{6} $$
$$ x_1=5,\qquad x_2=-\frac73 $$

ОДЗ: $$x\neq -3,\; x\neq 3$$. Оба корня подходят.