Упр.365 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 365. При каких значениях x разность дробей 1/(x + 2) и 1.(x+ 4) равна разности дробей 1/(x+8) и 1/(x+20)?

Решим уравнение:

$$\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+4}=\frac{1}{x+8}-\frac{1}{x+20}.$$

Приведём разности дробей к общему знаменателю:

$$\frac{(x+4)-(x+2)}{(x+2)(x+4)}=\frac{(x+20)-(x+8)}{(x+8)(x+20)}.$$

Получаем:

$$\frac{2}{(x+2)(x+4)}=\frac{12}{(x+8)(x+20)}.$$

Перемножим крест-накрест:

$$2(x+8)(x+20)=12(x+2)(x+4).$$

Разделим обе части на $2$:

$$ (x+8)(x+20)=6(x+2)(x+4). $$

Раскроем скобки:

$$x^2+28x+160=6(x^2+6x+8).$$

$$x^2+28x+160=6x^2+36x+48.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$5x^2+8x-112=0.$$

Найдём корни:

$$D=8^2-4\cdot 5\cdot(-112)=64+2240=2304,$$

$$\sqrt{D}=48.$$

$$x=\frac{-8\pm 48}{2\cdot 5}.$$

Тогда

$$x_1=\frac{-8+48}{10}=4,\qquad x_2=\frac{-8-48}{10}=-5{,}6.$$

Проверим область допустимых значений:

$$x\neq -2,\,-4,\,-8,\,-20.$$

Оба найденных значения подходят.

Ответ

$$x=-5{,}6;\ 4.$$