Упр.363 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

а) х4 — 20×2 + 64;
б) х4 — 17х2 + 16;
в) х4 — 5х2 — 36;
г) х4 — 3х2 — 4;
д) 9×4 — 10×2 + 1;
е) 4х4 — 17×2 + 4.

Во всех пунктах удобно сделать замену $$x^2=t$$. Тогда исходный трёхчлен превращается в квадратный относительно $$t$$, который затем раскладываем на множители и возвращаемся к переменной $$x$$.

1. а) $$x^4-20x^2+64$$

   $$t^2-20t+64=0$$
   $$D=20^2-4\cdot 64=400-256=144$$
   $$t_{1,2}=\frac{20\pm 12}{2}$$
   $$t_1=4,\quad t_2=16$$
   $$x^4-20x^2+64=(x^2-4)(x^2-16)=(x-2)(x+2)(x-4)(x+4)$$

2. б) $$x^4-17x^2+16$$

   $$t^2-17t+16=0$$
   $$D=17^2-4\cdot 16=289-64=225$$
   $$t_{1,2}=\frac{17\pm 15}{2}$$
   $$t_1=1,\quad t_2=16$$
   $$x^4-17x^2+16=(x^2-1)(x^2-16)=(x-1)(x+1)(x-4)(x+4)$$

3. в) $$x^4-5x^2-36$$

   $$t^2-5t-36=0$$
   $$D=5^2+4\cdot 36=25+144=169$$
   $$t_{1,2}=\frac{5\pm 13}{2}$$
   $$t_1=9,\quad t_2=-4$$
   $$x^4-5x^2-36=(x^2-9)(x^2+4)=(x-3)(x+3)(x^2+4)$$

4. г) $$x^4-3x^2-4$$

   $$t^2-3t-4=0$$
   $$D=3^2+4\cdot 4=9+16=25$$
   $$t_{1,2}=\frac{3\pm 5}{2}$$
   $$t_1=4,\quad t_2=-1$$
   $$x^4-3x^2-4=(x^2-4)(x^2+1)=(x-2)(x+2)(x^2+1)$$

5. д) $$9x^4-10x^2+1$$

   $$t=x^2$$
   $$9t^2-10t+1=0$$
   $$D=10^2-4\cdot 9\cdot 1=100-36=64$$
   $$t_{1,2}=\frac{10\pm 8}{18}$$
   $$t_1=1,\quad t_2=\frac{1}{9}$$
   $$9x^4-10x^2+1=(9x^2-1)(x^2-1)=(3x-1)(3x+1)(x-1)(x+1)$$

6. е) $$4x^4-17x^2+4$$

   $$t=x^2$$
   $$4t^2-17t+4=0$$
   $$D=17^2-4\cdot 4\cdot 4=289-64=225$$
   $$t_{1,2}=\frac{17\pm 15}{8}$$
   $$t_1=4,\quad t_2=\frac{1}{4}$$
   $$4x^4-17x^2+4=(4x^2-1)(x^2-4)=(2x-1)(2x+1)(x-2)(x+2)$$

Ответ

а) $$\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x-4\right)\left(x+4\right)$$;
б) $$\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x-4\right)\left(x+4\right)$$;
в) $$\left(x-3\right)\left(x+3\right)\left(x^2+4\right)$$;
г) $$\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x^2+1\right)$$;
д) $$\left(3x-1\right)\left(3x+1\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$;
е) $$\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$.