Упр.362 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

а) корень (3 + (корень 5)) корнем биквадратного уравнения х4 — 6х2 + 3 = 0;
б) корень (5 — (корень 2)) корнем биквадратного уравнения x4 — 10×2 + 23 = 0?

а) Подставим $$x=\sqrt{3+\sqrt5}$$ в уравнение $$x^4-6x^2+3=0$$:

$$\left(\sqrt{3+\sqrt5}\right)^4-6\left(\sqrt{3+\sqrt5}\right)^2+3$$

Так как $$\left(\sqrt{3+\sqrt5}\right)^2=3+\sqrt5,$$ получаем:

$$\left(3+\sqrt5\right)^2-6\left(3+\sqrt5\right)+3$$

$$9+6\sqrt5+5-18-6\sqrt5+3=-1.$$

Получили число, не равное нулю, значит, $$\sqrt{3+\sqrt5}$$ не является корнем данного уравнения.

б) Подставим $$x=\sqrt{5-\sqrt2}$$ в уравнение $$x^4-10x^2+23=0$$:

$$\left(\sqrt{5-\sqrt2}\right)^4-10\left(\sqrt{5-\sqrt2}\right)^2+23$$

Так как $$\left(\sqrt{5-\sqrt2}\right)^2=5-\sqrt2,$$ получаем:

$$\left(5-\sqrt2\right)^2-10\left(5-\sqrt2\right)+23$$

$$25-10\sqrt2+2-50+10\sqrt2+23=0.$$

Следовательно, $$\sqrt{5-\sqrt2}$$ является корнем данного уравнения.

Ответ

а) нет; б) да.