Упр.357 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

1. Решите неравенство:
2. С помощью графиков выясните, сколько решений может иметь уравнение $$x^3+ax+b=0$$ при различных значениях $$a$$ и $$b$$.

Перепишем уравнение в виде

$$x^3=-ax-b.$$

Количество решений уравнения равно числу точек пересечения графиков $$y=x^3$$ и $$y=-ax-b$$.

1. Если $$a=0$$, то прямая имеет вид $$y=-b$$, то есть параллельна оси $$Ox$$. Кубическая функция $$y=x^3$$ возрастает, поэтому горизонтальная прямая пересекает её ровно в одной точке.

2. Если $$a>0$$, то прямая $$y=-ax-b$$ убывает. Убывающая прямая и возрастающая кубическая функция могут пересекаться только один раз, значит, уравнение имеет ровно одно решение.

3. Если $$a<0$$, то прямая $$y=-ax-b$$ возрастает. В этом случае возможны разные варианты:

   • одно решение;
   • два решения;
   • три решения.

   При $$b=0$$ прямая $$y=-ax$$ проходит через начало координат и пересекает график $$y=x^3$$ в трёх точках.

   При некоторых значениях $$b$$ прямая может касаться кубической кривой в двух точках, а при других — пересекать её только один раз.

Итак, при $$a\ge 0$$ уравнение имеет ровно одно решение, а при $$a<0$$ — одно, два или три решения в зависимости от значения $$b$$.

Ответ

При $$a\ge 0$$ существует ровно одно решение; при $$a<0$$ уравнение может иметь $$1$$, $$2$$ или $$3$$ решения.