Упр.357 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 357 С помощью графиков выясните, сколько решений может иметь уравнение х3 + ах + b = 0 при различных значениях а и b. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 makar9 357 95

Подробный ответ

Перепишем уравнение в виде

$$x^3=-ax-b.$$

Количество решений уравнения равно числу точек пересечения графиков $$y=x^3$$ и $$y=-ax-b$$.

Если $$a=0$$, то прямая имеет вид $$y=-b$$, то есть параллельна оси $$Ox$$. Кубическая функция $$y=x^3$$ возрастает, поэтому горизонтальная прямая пересекает её ровно в одной точке.
Если $$a>0$$, то прямая $$y=-ax-b$$ убывает. Убывающая прямая и возрастающая кубическая функция могут пересекаться только один раз, значит, уравнение имеет ровно одно решение.
Если $$a<0$$, то прямая $$y=-ax-b$$ возрастает. В этом случае возможны разные варианты:
- одно решение;
- два решения;
- три решения.
При $$b=0$$ прямая $$y=-ax$$ проходит через начало координат и пересекает график $$y=x^3$$ в трёх точках.
При некоторых значениях $$b$$ прямая может касаться кубической кривой в двух точках, а при других — пересекать её только один раз.

Итак, при $$a\ge 0$$ уравнение имеет ровно одно решение, а при $$a<0$$ — одно, два или три решения в зависимости от значения $$b$$.