Упр.351 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 351 Докажите, что если число т является корнем уравнения ах4 + bх3 + сx2 + bх + а = 0, где а, b, с — некоторые числа, причём а =/ 0, то обратное ему число также является корнем этого уравнения.

Рассмотрим уравнение

$$ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0,\qquad a\ne 0.$$

Так как свободный член равен $$a\ne 0,$$ то $$x=0$$ не является корнем, значит, можно разделить уравнение на $$x^4$$:

$$a+\frac{b}{x}+\frac{c}{x^2}+\frac{b}{x^3}+\frac{a}{x^4}=0.$$

Положим

$$t=x+\frac{1}{x}.$$

Тогда исходное уравнение можно переписать в симметричном виде:

$$a\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+b\left(x+\frac{1}{x}\right)+c=0.$$

Если $$x=m$$ — корень уравнения, то

$$am^4+bm^3+cm^2+bm+a=0.$$

Подставим вместо $$x$$ число $$\frac{1}{m}$$:

$$a\left(\frac{1}{m}\right)^4+b\left(\frac{1}{m}\right)^3+c\left(\frac{1}{m}\right)^2+b\left(\frac{1}{m}\right)+a=0.$$

Умножим это равенство на $$m^4$$:

$$a+bm+cm^2+bm^3+am^4=0.$$

Это то же самое уравнение, только записанное в обратном порядке, значит, число $$\frac{1}{m}$$ также является корнем данного уравнения.

Ответ

Если $$m$$ — корень уравнения $$ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0,$$ то $$\frac{1}{m}$$ тоже является его корнем.