Упр.349 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

1. х3 — х + 3 = 0
2. х4 + x2 — 20 = 0
3. х4 + 5×2 + 4 = 0
4. x3 — 5x + 4 = 0

Проверим каждое уравнение на наличие ровно одного целого корня.

1. $$x^3-x+3=0$$

   Проверим возможные целые корни по теореме о рациональных корнях: $$\pm1,\pm3$$.

   $$f(-3)=-27+3+3\ne0$$

   $$f(-1)=-1+1+3\ne0$$

   $$f(1)=1-1+3\ne0$$

   $$f(3)=27-3+3\ne0$$

   Целых корней нет.

2. $$x^4+x^2-20=0$$

   Положим $$t=x^2$$. Тогда

   $$t^2+t-20=0$$

   $$\left(t-4\right)\left(t+5\right)=0$$

   $$t=4 \text{ или } t=-5$$

   Так как $$t=x^2\ge 0$$, подходит только $$t=4$$.

   $$x^2=4$$

   $$x=\pm2$$

   Целых корней два.

3. $$x^4+5x^2+4=0$$

   Положим $$t=x^2$$. Тогда

   $$t^2+5t+4=0$$

   $$\left(t+1\right)\left(t+4\right)=0$$

   $$t=-1 \text{ или } t=-4$$

   Но $$x^2\ge 0$$, значит действительных корней нет.

4. $$x^3-5x+4=0$$

   Проверим целые корни: $$\pm1,\pm2,\pm4$$.

   $$f(1)=1-5+4=0$$

   Значит, $$x=1$$ — корень.

   Разложим многочлен на множители:

   $$x^3-5x+4=\left(x-1\right)\left(x^2+x-4\right)$$

   Решим квадратное уравнение:

   $$x^2+x-4=0$$

   $$D=1-4\cdot1\cdot(-4)=17$$

   $$x=\frac{-1\pm\sqrt{17}}{2}$$

   Из них целым является только $$x=1$$.

Ответ

4