Упр.342 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

а) х3 — 4х2 + 3x + 2 = 0; б) х4 + 2×3 — 7х2 — 8х + 12 = 0.

а) Проверим целый корень: $$x=2.$$ Тогда

$$2^3-4\cdot 2^2+3\cdot 2+2=8-16+6+2=0,$$

значит, $$x-2$$ — множитель многочлена:

$$x^3-4x^2+3x+2=(x-2)(x^2-2x-1).$$

Решим квадратное уравнение:

$$x^2-2x-1=0.$$

$$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-1)=4+4=8.$$

$$x=\frac{2\pm\sqrt{8}}{2}=\frac{2\pm 2\sqrt2}{2}=1\pm\sqrt2.$$

Итак, корни уравнения:

$$x=2,\quad x=1-\sqrt2,\quad x=1+\sqrt2.$$

б) Проверим целый корень: $$x=1.$$ Тогда

$$1^4+2\cdot 1^3-7\cdot 1^2-8\cdot 1+12=1+2-7-8+12=0,$$

значит, $$x-1$$ — множитель:

$$x^4+2x^3-7x^2-8x+12=(x-1)(x^3+3x^2-4x-12).$$

Проверим корень $$x=2$$ для кубического многочлена:

$$2^3+3\cdot 2^2-4\cdot 2-12=8+12-8-12=0.$$

Тогда

$$x^3+3x^2-4x-12=(x-2)(x^2+5x+6).$$

Разложим квадратный трёхчлен:

$$x^2+5x+6=(x+2)(x+3).$$

Следовательно,

$$x^4+2x^3-7x^2-8x+12=(x-1)(x-2)(x+2)(x+3).$$

Отсюда корни:

$$x=1,\quad x=2,\quad x=-2,\quad x=-3.$$

Ответ

а) $$1-\sqrt2,\ 2,\ 1+\sqrt2.$$

б) $$-3,\ -2,\ 1,\ 2.$$