Упр.315 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)
а) 7х^2 10х + 7 > 0; г) 1/4х^2 — 8х + 64 > = 0;
б) -6у^2 + 11у — 10 < 0; д) -9y^2 + 6у - 1 = < 0;
в) 4х^2 + 12х + 9 > = 0; е) -5х^2 + 8х — 5 < 0.
1) Обсудите, при каком условии неравенство ах^2 + bх + с > 0, где а, Ь, с — некоторые числа, верно при любом значении переменной х. Укажите аналогичные условия для неравенства ах^2 + bх + c < О.
2) Распределите, кто выполняет задания а), в), д), а кто — задания б), г), е), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено доказательство неравенств, и исправьте ошибки, если они допущены.
Для квадратного трёхчлена $$ax^2+bx+c$$ неравенство верно при любом значении переменной, если:
- для $$ax^2+bx+c>0$$: $$a>0$$ и $$D<0$$ либо $$D=0$$ и трёхчлен неотрицателен при всех $$x$$;
- для $$ax^2+bx+c<0$$: $$a<0$$ и $$D<0$$ либо $$D=0$$ и трёхчлен неположителен при всех $$x$$.
Проверим данные неравенства.
а) $$7x^2-10x+7>0$$
$$D=(-10)^2-4\cdot 7\cdot 7=100-196=-96<0$$
Так как $$a=7>0$$ и $$D<0$$, то $$7x^2-10x+7>0$$ при любом $$x$$.
б) $$-6y^2+11y-10<0$$
$$D=11^2-4\cdot(-6)\cdot(-10)=121-240=-119<0$$
Так как $$a=-6<0$$ и $$D<0$$, то $$-6y^2+11y-10<0$$ при любом $$y$$.
в) $$4x^2+12x+9\ge 0$$
$$D=12^2-4\cdot 4\cdot 9=144-144=0$$
$$4x^2+12x+9=(2x+3)^2\ge 0$$
Следовательно, неравенство верно при любом $$x$$.
г) $$\frac14x^2-8x+64\ge 0$$
$$D=(-8)^2-4\cdot \frac14\cdot 64=64-64=0$$
$$\frac14x^2-8x+64=\left(\frac{x}{2}-8\right)^2\ge 0 $$
Значит, неравенство верно при любом $$x$$.
д) $$-9y^2+6y-1\le 0$$
$$D=6^2-4\cdot(-9)\cdot(-1)=36-36=0$$
$$-9y^2+6y-1=-(3y-1)^2\le 0 $$
Следовательно, неравенство верно при любом $$y$$.
е) $$-5x^2+8x-5<0$$
$$D=8^2-4\cdot(-5)\cdot(-5)=64-100=-36<0$$
Так как $$a=-5<0$$ и $$D<0$$, то $$-5x^2+8x-5<0$$ при любом $$x$$.
Ответ
а) верно при любом $$x$$; б) верно при любом $$y$$; в) верно при любом $$x$$; г) верно при любом $$x$$; д) верно при любом $$y$$; е) верно при любом $$x$$.
