Упр.300 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

а) x2+1/x2 -1/2 (x-1/x) =3*1/2;
б) x2+1/x2- 1/3(x+1/x)=8.

а) Обозначим $$y=x-\frac{1}{x}.$$ Тогда

$$ x^2+\frac{1}{x^2}=\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+2=y^2+2. $$

Получаем:

$$ y^2+2-\frac{1}{2}y=\frac{7}{2}, $$
$$ 2y^2-y-3=0. $$

Решим квадратное уравнение:

$$ D=(-1)^2-4\cdot 2\cdot(-3)=1+24=25, $$
$$ y_{1,2}=\frac{1\pm 5}{4}. $$

Отсюда

$$ y_1=-1,\qquad y_2=\frac{3}{2}. $$

1) Если $$x-\frac{1}{x}=-1,$$ то

$$ x^2+x-1=0, $$
$$ x=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}. $$

2) Если $$x-\frac{1}{x}=\frac{3}{2},$$ то

$$ 2x^2-3x-2=0, $$
$$ x=\frac{3\pm 5}{4}. $$

Тогда

$$ x=2 \quad \text{или} \quad x=-\frac{1}{2}. $$

б) Обозначим $$y=x+\frac{1}{x}.$$ Тогда

$$ x^2+\frac{1}{x^2}=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2=y^2-2. $$

Получаем:

$$ y^2-2-\frac{1}{3}y=8, $$
$$ 3y^2-y-30=0. $$

Решим квадратное уравнение:

$$ D=(-1)^2-4\cdot 3\cdot(-30)=1+360=361, $$
$$ y_{1,2}=\frac{1\pm 19}{6}. $$

Отсюда

$$ y_1=-3,\qquad y_2=\frac{10}{3}. $$

1) Если $$x+\frac{1}{x}=-3,$$ то

$$ x^2+3x+1=0, $$
$$ x=\frac{-3\pm \sqrt{5}}{2}. $$

2) Если $$x+\frac{1}{x}=\frac{10}{3},$$ то

$$ 3x^2-10x+3=0, $$
$$ x=\frac{10\pm 8}{6}. $$

Тогда

$$ x=\frac{1}{3} \quad \text{или} \quad x=3. $$

Ответ

а) $$\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2},\ -\frac{1}{2},\ 2$$; б) $$\frac{-3\pm \sqrt{5}}{2},\ \frac{1}{3},\ 3$$.