Упр.299 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

1) Обсудите, значения каких выражений сравниваются, и составьте соответствующее уравнение.
2) Решите уравнение, используя введение новой переменной.
3) Для каждого из найденных значений вспомогательной переменной вычислите корень составленного уравнения.
4) Выберите значения корней, соответствующие условию задачи.

Обозначим искомое положительное число через $$x$$. Тогда число, ему обратное, равно $$\frac{1}{x}$$.

По условию сумма этих чисел в 13 раз меньше суммы их кубов, значит:

$$x+\frac{1}{x}=\frac{1}{13}\left(x^3+\frac{1}{x^3}\right).$$

Умножим обе части на $$13$$:

$$13\left(x+\frac{1}{x}\right)=x^3+\frac{1}{x^3}.$$

Используем формулу:

$$x^3+\frac{1}{x^3}=\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(x^2-1+\frac{1}{x^2}\right).$$

Тогда

$$13\left(x+\frac{1}{x}\right)=\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(x^2-1+\frac{1}{x^2}\right).$$

Перенесём всё в одну сторону и вынесем общий множитель:

$$\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(x^2-14+\frac{1}{x^2}\right)=0.$$

Так как $$x>0$$, то $$x+\frac{1}{x}\neq 0$$. Значит,

$$x^2-14+\frac{1}{x^2}=0.$$

Положим

$$y=\frac{1}{x^2}.$$

Тогда получаем уравнение

$$y+\frac{1}{y}-14=0,$$

или после умножения на $$y$$:

$$y^2-14y+1=0.$$

Найдём корни:

$$D=14^2-4\cdot 1\cdot 1=196-4=192,$$

$$y=\frac{14\pm\sqrt{192}}{2}=\frac{14\pm 8\sqrt{3}}{2}=7\pm 4\sqrt{3}.$$

Возвращаемся к $$x$$:

$$\frac{1}{x^2}=7\pm 4\sqrt{3}.$$

Заметим, что

$$7+4\sqrt{3}=(2+\sqrt{3})^2,\qquad 7-4\sqrt{3}=(2-\sqrt{3})^2.$$

Тогда

$$\frac{1}{x}=2+\sqrt{3}\quad \text{или} \quad \frac{1}{x}=2-\sqrt{3}.$$

Следовательно,

$$x=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3},$$

$$x=\frac{1}{2-\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}.$$

Оба значения положительные и подходят по условию задачи.

Ответ

$$2-\sqrt{3},\ 2+\sqrt{3}.$$