Упр.298 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 298. Найдите корни уравнения:
а) Обозначим
$$y=\left(\frac{x+2}{x-4}\right)^2.$$
Тогда уравнение примет вид
$$y+\frac{16}{y}=17.$$
Умножим на $$y$$:
$$y^2-17y+16=0.$$
$$D=17^2-4\cdot 16=289-64=225,$$
$$y_1=\frac{17-15}{2}=1,\qquad y_2=\frac{17+15}{2}=16.$$
1) Если
$$\left(\frac{x+2}{x-4}\right)^2=1,$$
то
$$\frac{x+2}{x-4}=\pm 1.$$
При $$\frac{x+2}{x-4}=1$$ получаем
$$x+2=x-4,$$
что невозможно.
При $$\frac{x+2}{x-4}=-1$$ имеем
$$x+2=-x+4,$$
$$2x=2,$$
$$x=1.$$
2) Если
$$\left(\frac{x+2}{x-4}\right)^2=16,$$
то
$$\frac{x+2}{x-4}=\pm 4.$$
При $$\frac{x+2}{x-4}=4$$:
$$x+2=4x-16,$$
$$3x=18,$$
$$x=6.$$
При $$\frac{x+2}{x-4}=-4$$:
$$x+2=-4x+16,$$
$$5x=14,$$
$$x=\frac{14}{5}=2{,}8.$$
б) Обозначим
$$y=\left(\frac{x+1}{x-3}\right)^2.$$
Тогда
$$y+\frac{18}{y}=11.$$
Умножим на $$y$$:
$$y^2-11y+18=0.$$
$$D=11^2-4\cdot 18=121-72=49,$$
$$y_1=\frac{11-7}{2}=2,\qquad y_2=\frac{11+7}{2}=9.$$
1) Если
$$\left(\frac{x+1}{x-3}\right)^2=2,$$
то
$$\frac{x+1}{x-3}=\pm \sqrt2.$$
Решая оба случая, получаем
$$x=7+4\sqrt2,\qquad x=7-4\sqrt2.$$
2) Если
$$\left(\frac{x+1}{x-3}\right)^2=9,$$
то
$$\frac{x+1}{x-3}=\pm 3.$$
При $$\frac{x+1}{x-3}=3$$:
$$x+1=3x-9,$$
$$2x=10,$$
$$x=5.$$
При $$\frac{x+1}{x-3}=-3$$:
$$x+1=-3x+9,$$
$$4x=8,$$
$$x=2.$$
Ответ
а) $$1;\ 2{,}8;\ 6.$$
б) $$7+4\sqrt2;\ 7-4\sqrt2;\ 5;\ 2.$$
