Упр.297 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Задача

а) 12/(x2-2x+3) = x2-2x-1;
б) 12/(x2+x-10) — 6/(x2+x-6) = 5/(x2+x-11);
в) 16/(x2-2x) — 11/(x2-2x+3) = 9/(x2-2x+1).
1) Выполните совместно задание а).
2) Распределите, кто выполняет задание б), а кто — задание в), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга, правильно ли решены уравнения, и исправьте ошибки, если они допущены.

Подробный ответ

а) Пусть $$y=x^2-2x+3$$. Тогда $$x^2-2x-1=y-4$$, и уравнение принимает вид
$$\frac{12}{y}=y-4.$$
Умножим на $$y$$:
$$12=y^2-4y,$$
$$y^2-4y-12=0.$$
$$D=16+48=64,$$
$$y_{1,2}=\frac{4\pm 8}{2}.$$
Получаем $$y_1=6$$ и $$y_2=-2$$.
1) $$x^2-2x+3=6$$, тогда
$$x^2-2x-3=0,$$
$$x_1=-1,\quad x_2=3.$$
2) $$x^2-2x+3=-2$$, тогда
$$x^2-2x+5=0,$$
$$D=4-20=-16<0,$$
решений нет.
б) Пусть $$y=x^2+x-10$$. Тогда
$$x^2+x-6=y+4,\qquad x^2+x-11=y-1.$$
Имеем
$$\frac{12}{y}-\frac{6}{y+4}=\frac{5}{y-1}.$$
Умножим на $$y(y+4)(y-1)$$:
$$12(y+4)(y-1)-6y(y-1)=5y(y+4).$$
$$12(y^2+3y-4)-6y^2+6y=5y^2+20y,$$
$$12y^2+36y-48-6y^2+6y=5y^2+20y,$$
$$y^2+22y-48=0.$$
$$D=484+192=676,$$
$$y_{1,2}=\frac{-22\pm 26}{2}.$$
Получаем $$y_1=2$$ и $$y_2=-24$$.
1) $$x^2+x-10=2$$, тогда
$$x^2+x-12=0,$$
$$x_1=-4,\quad x_2=3.$$
2) $$x^2+x-10=-24$$, тогда
$$x^2+x+14=0,$$
$$D=1-56=-55<0,$$
решений нет.
в) Пусть $$y=x^2-2x$$. Тогда
$$x^2-2x+3=y+3,\qquad x^2-2x+1=y+1.$$
Получаем
$$\frac{16}{y}-\frac{11}{y+3}=\frac{9}{y+1}.$$
Умножим на $$y(y+3)(y+1)$$:
$$16(y+3)(y+1)-11y(y+1)=9y(y+3).$$
$$16(y^2+4y+3)-11y^2-11y=9y^2+27y,$$
$$16y^2+64y+48-11y^2-11y=9y^2+27y,$$
$$4y^2-26y-48=0,$$
$$2y^2-13y-24=0.$$
$$D=169+192=361,$$
$$y_{1,2}=\frac{13\pm 19}{4}.$$
Получаем $$y_1=8$$ и $$y_2=-\frac{3}{2}.$$
1) $$x^2-2x=8$$, тогда
$$x^2-2x-8=0,$$
$$x_1=-2,\quad x_2=4.$$
2) $$x^2-2x=-\frac{3}{2}$$, тогда
$$2x^2-4x+3=0,$$
$$D=16-24=-8<0,$$
решений нет.