Упр.294 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Задача

а) 1/(x-4) + 1/(x-2) = 1/(x+4) + 1/(x-5);
б) 1/(x+1) + 1/(x+3) = 1/(x+28) + 1/x.
1) Обсудите, в каком виде удобно представить уравнение в каждом случае, и выполните соответствующие преобразования.
2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга, правильно ли найдены корни уравнения, и исправьте ошибки, если они допущены.

Подробный ответ

а) Приведём дроби к общему виду и перенесём слагаемые с неизвестным в одну сторону:

$$ \frac{1}{x-4}+\frac{1}{x-2}=\frac{1}{x+4}+\frac{1}{x-5} $$
$$ \frac{1}{x-4}-\frac{1}{x-5}=\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x-2} $$
$$ \frac{(x-5)-(x-4)}{(x-4)(x-5)}=\frac{(x-2)-(x+4)}{(x+4)(x-2)} $$
$$ \frac{-1}{(x-4)(x-5)}=\frac{-6}{(x+4)(x-2)} $$
$$ (x+4)(x-2)=6(x-4)(x-5) $$
$$ x^2+2x-8=6x^2-54x+120 $$
$$ 5x^2-56x+128=0 $$

Найдём корни квадратного уравнения:

$$ D=(-56)^2-4\cdot 5\cdot 128=3136-2560=576 $$
$$ x=\frac{56\pm 24}{10} $$
$$ x_1=8,\qquad x_2=\frac{32}{10}=3{,}2 $$

Проверим область допустимых значений:

$$ x\neq 4,\; x\neq 2,\; x\neq -4,\; x\neq 5 $$

Оба найденных значения подходят.

б) Аналогично преобразуем уравнение:

$$ \frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+3}=\frac{1}{x+28}+\frac{1}{x} $$
$$ \frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+28}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+3} $$
$$ \frac{27}{(x+1)(x+28)}=\frac{3}{x(x+3)} $$
$$ 9x(x+3)=(x+1)(x+28) $$
$$ 9x^2+27x=x^2+29x+28 $$
$$ 8x^2-2x-28=0 $$
$$ 4x^2-x-14=0 $$

Решим квадратное уравнение:

$$ D=(-1)^2-4\cdot 4\cdot(-14)=1+224=225 $$
$$ x=\frac{1\pm 15}{8} $$
$$ x_1=2,\qquad x_2=-\frac{14}{8}=-1{,}75 $$

Проверим область допустимых значений:

$$ x\neq -1,\; x\neq -3,\; x\neq -28,\; x\neq 0 $$

Оба корня подходят.