Упр.292 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

а) сумма дробей (a+1)/(a-2) и (a-4)/(a+1) равна дроби (3a+3)/(a2-a-2);
б) разность дробей (3a-5)/(a2-1) равна дроби (3a+2)/(a2+a)?

а) Приведём дроби к общему знаменателю:

$$ \frac{a+1}{a-2}+\frac{a-4}{a+1}=\frac{3a+3}{a^2-a-2}, \qquad a^2-a-2=(a-2)(a+1) $$

Тогда

$$ \frac{(a+1)^2+(a-4)(a-2)}{(a-2)(a+1)}=\frac{3a+3}{(a-2)(a+1)} $$

Приравниваем числители:

$$ (a+1)^2+(a-4)(a-2)=3a+3 $$

$$ a^2+2a+1+a^2-6a+8=3a+3 $$

$$ 2a^2-7a+6=0 $$

$$ D=(-7)^2-4\cdot 2\cdot 6=49-48=1 $$

$$ a=\frac{7\pm 1}{4} $$

$$ a_1=2,\qquad a_2=\frac{3}{2} $$

Проверим область допустимых значений: $$a\ne 2,\ a\ne -1.$$

Значение $$a=2$$ не подходит, остаётся $$a=\frac{3}{2}.$$

б) Приведём дроби к общему знаменателю:

$$ \frac{3a-5}{a^2-1}-\frac{6a-5}{a-a^2}=\frac{3a+2}{a^2+a} $$

Так как

$$ a^2-1=(a-1)(a+1),\qquad a-a^2=-a(a-1),\qquad a^2+a=a(a+1), $$

получаем

$$ \frac{3a-5}{(a-1)(a+1)}+\frac{6a-5}{a(a-1)}=\frac{3a+2}{a(a+1)} $$

Умножим на общий знаменатель $$a(a-1)(a+1)$$:

$$ a(3a-5)+(6a-5)(a+1)=(3a+2)(a-1) $$

$$ 3a^2-5a+6a^2+a-5=3a^2-a-2 $$

$$ 6a^2-3a-3=0 $$

$$ 2a^2-a-1=0 $$

$$ D=(-1)^2-4\cdot 2\cdot(-1)=9 $$

$$ a=\frac{1\pm 3}{4} $$

$$ a_1=1,\qquad a_2=-\frac{1}{2} $$

Область допустимых значений: $$a\ne -1,\ a\ne 0,\ a\ne 1.$$

Значение $$a=1$$ не подходит, поэтому $$a=-\frac{1}{2}.$$

Ответ

а) $$\frac{3}{2}$$; б) $$-\frac{1}{2}$$.