Упр.291 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 291. Найдите корни уравнения:

1. а)
   $$\frac{3x-2}{x-1}-\frac{2x+3}{x+3}=\frac{12x+4}{x^2+2x-3}$$

   Разложим знаменатель:
   $$x^2+2x-3=(x-1)(x+3)$$

   Тогда
   $$ \frac{3x-2}{x-1}-\frac{2x+3}{x+3}=\frac{12x+4}{(x-1)(x+3)} $$
   и после умножения на $$ (x-1)(x+3) $$ получаем:
   $$ (3x-2)(x+3)-(2x+3)(x-1)=12x+4 $$
   $$ 3x^2+7x-6-2x^2+x-3x+3=12x+4 $$
   $$ x^2+6x-3=12x+4 $$
   $$ x^2-6x-7=0 $$

   $$ D=(-6)^2-4\cdot 1\cdot(-7)=36+28=64 $$
   $$ x_{1,2}=\frac{6\pm 8}{2} $$
   $$ x_1=-1,\quad x_2=7 $$

   Область определения:
   $$x\ne 1,\quad x\ne -3$$
   Оба корня подходят.

2. б)
   $$\frac{5x-1}{x+7}-\frac{2x+2}{x-3}+\frac{63}{x^2+4x-21}=0$$

   Разложим знаменатель:
   $$x^2+4x-21=(x+7)(x-3)$$

   Тогда
   $$ \frac{(5x-1)(x-3)-(2x+2)(x+7)+63}{(x+7)(x-3)}=0 $$
   Числитель:
   $$ (5x-1)(x-3)-(2x+2)(x+7)+63=0 $$
   $$ 5x^2-16x+3-2x^2-16x-14+63=0 $$
   $$ 3x^2-32x+52=0 $$

   $$ D=(-32)^2-4\cdot 3\cdot 52=1024-624=400 $$
   $$ x_{1,2}=\frac{32\pm 20}{6} $$
   $$ x_1=2,\quad x_2=\frac{26}{3}=8\frac{2}{3} $$

   Область определения:
   $$x\ne -7,\quad x\ne 3$$
   Оба корня подходят.

3. в)
   $$\frac{x}{x^2+4x+4}=\frac{4}{x^2-4}-\frac{16}{x^3+2x^2-4x-8}$$

   Разложим знаменатели:
   $$ x^2+4x+4=(x+2)^2,\quad x^2-4=(x-2)(x+2) $$
   $$ x^3+2x^2-4x-8=(x+2)(x^2-4)=(x+2)(x-2)(x+2)=(x-2)(x+2)^2 $$

   Тогда
   $$ \frac{x}{(x+2)^2}=\frac{4}{(x-2)(x+2)}-\frac{16}{(x-2)(x+2)^2} $$
   Умножим на $$ (x-2)(x+2)^2 $$:
   $$ x(x-2)=4(x+2)-16 $$
   $$ x^2-2x=4x+8-16 $$
   $$ x^2-6x+8=0 $$

   $$ D=(-6)^2-4\cdot 1\cdot 8=36-32=4 $$
   $$ x_{1,2}=\frac{6\pm 2}{2} $$
   $$ x_1=2,\quad x_2=4 $$

   Область определения:
   $$x\ne -2,\quad x\ne 2$$
   Корень $$x=2$$ не подходит, значит остаётся $$x=4$$.

Ответ

а) $$-1,\ 7$$;
б) $$2,\ 8\frac{2}{3}$$;
в) $$4$$.