Упр.263 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

а) корень х = х, корень х < х, корень x > х; б) корень 3 степени х = х, корень 3 степени х < х, корень 3 степени х > х.

а) Рассмотрим уравнение $$\sqrt{x}=x.$$

Область определения: $$x\ge 0.$$ Возведём обе части в квадрат:

$$ (\sqrt{x})^2=x^2 \\ x=x^2 \\ x^2-x=0 \\ x(x-1)=0 $$

Отсюда $$x=0$$ или $$x=1.$$

Теперь неравенства:

$$\sqrt{x}

Так как $$\sqrt{x}\ge 0,$$ то обязательно $$x>0.$$ Тогда можно возвести обе части в квадрат:

$$ x0 \\ x(x-1)>0 $$

С учётом $$x>0$$ получаем $$x>1.$$

$$\sqrt{x}>x.$$

При $$x\ge 0$$ возводим в квадрат:

$$ x>x^2 \\ x^2-x<0 \\ x(x-1)<0 $$

Отсюда $$0<x<1.$$

б) Рассмотрим уравнение $$\sqrt[3]{x}=x.$$

Возведём обе части в куб:

$$ (\sqrt[3]{x})^3=x^3 \\ x=x^3 \\ x^3-x=0 \\ x(x^2-1)=0 \\ x(x-1)(x+1)=0 $$

Отсюда $$x=-1,\;0,\;1.$$

Теперь неравенства:

$$\sqrt[3]{x}<x.$$

Возведём обе части в куб, знак неравенства сохраняется:

$$ x<x^3 \\ x^3-x>0 \\ x(x^2-1)>0 \\ x(x-1)(x+1)>0 $$

Решение:

$$x\in(-1;0)\cup(1;+\infty).$$

$$\sqrt[3]{x}>x.$$

Аналогично:

$$ x>x^3 \\ x^3-x<0 \\ x(x^2-1)<0 \\ x(x-1)(x+1)<0 $$

Решение:

$$x\in(-\infty;-1)\cup(0;1).$$

Ответ

а) $$x=0,\;1;$$ $$x>1;$$ $$0<x<1.$$

б) $$x=-1,\;0,\;1;$$ $$x\in(-1;0)\cup(1;+\infty);$$ $$x\in(-\infty;-1)\cup(0;1).$$