Упр.236 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

а) f(x) = |x2-2x|;
б) f(x) =x2-2|x|.

а) $$f(x)=|x^2-2x|=|x(x-2)|.$$

Сначала рассмотрим параболу $$y=x^2-2x=(x-1)^2-1.$$

Её вершина: $$x_0=-\frac{-2}{2\cdot 1}=1,\qquad y_0=1-2=-1.$$

Нули функции: $$x^2-2x=0 \Rightarrow x(x-2)=0 \Rightarrow x=0 \text{ или } x=2.$$

Так как берётся модуль, то часть графика ниже оси $$Ox$$ отражается симметрично вверх. Поэтому

$$ f(x)= \begin{cases} x^2-2x, & x\le 0 \text{ или } x\ge 2,\\ -(x^2-2x)=-x^2+2x, & 0\le x\le 2. \end{cases} $$

Для построения удобно взять несколько точек:

График состоит из двух внешних ветвей параболы $$y=x^2-2x$$ и дуги между точками $$x=0$$ и $$x=2$$, отражённой вверх.

б) $$f(x)=x^2-2|x|.$$

Рассмотрим отдельно случаи:

$$ f(x)= \begin{cases} x^2-2x, & x\ge 0,\\ x^2+2x, & x<0. \end{cases} $$

Функция чётная, поэтому график симметричен относительно оси $$Oy$$.

Для правой части при $$x\ge 0$$:

$$ y=x^2-2x=(x-1)^2-1, $$

вершина $$ (1,-1) $$, нули $$x=0$$ и $$x=2$$.

Для левой части при $$x<0$$:

$$ y=x^2+2x=(x+1)^2-1, $$

вершина $$ (-1,-1) $$, нули $$x=-2$$ и $$x=0$$.

Значит, график состоит из двух одинаковых ветвей парабол, соединённых в точке $$ (0,0) $$, с минимумами в точках $$(-1,-1)$$ и $$(1,-1)$$.

Ответ

а) $$f(x)=|x^2-2x|$$ — график параболы $$y=x^2-2x$$, у которой часть ниже оси $$Ox$$ отражена вверх; точки $$ (0,0) $$, $$(1,1)$$, $$(2,0)$$, $$(3,3)$$, $$(4,8)$$.
б) $$f(x)=x^2-2|x|$$ — чётная функция; график задаётся формулами $$y=x^2-2x$$ при $$x\ge 0$$ и $$y=x^2+2x$$ при $$x<0$$, минимумы в точках $$(-1,-1)$$ и $$(1,-1)$$.