Упр.225 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 225 Зная, что m — целое число, найдите целые корни трёхчлена mх2 + (m- 3)x — 3. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 makar9 225 95

Рассмотрим уравнение

$$mx^2+(m-3)x-3=0.$$

Так как требуется найти целые корни, найдём их по формуле корней квадратного уравнения:

$$D=(m-3)^2-4\cdot m\cdot(-3)=m^2-6m+9+12m=m^2+6m+9=(m+3)^2.$$

Тогда

$$x_{1,2}=\frac{-(m-3)\pm\sqrt{(m+3)^2}}{2m}=\frac{3-m\pm(m+3)}{2m}.$$

Получаем:

$$x_1=\frac{3-m+m+3}{2m}=\frac{6}{2m}=\frac{3}{m},$$

$$x_2=\frac{3-m-m-3}{2m}=\frac{-2m}{2m}=-1.$$

Чтобы оба корня были целыми, число $$\frac{3}{m}$$ должно быть целым. Так как $$m$$ — целое, возможны только значения

$$m=\pm1,\ \pm3.$$

Проверим:

при $$m=-3$$: $$x_1=\frac{3}{-3}=-1,$$ корни $$-1$$ и $$-1$$;

при $$m=-1$$: $$x_1=\frac{3}{-1}=-3,$$ корни $$-3$$ и $$-1$$;

при $$m=1$$: $$x_1=\frac{3}{1}=3,$$ корни $$3$$ и $$-1$$;

при $$m=3$$: $$x_1=\frac{3}{3}=1,$$ корни $$1$$ и $$-1$$.

Ответ

$$\{-1,-1\},\ \{-3,-1\},\ \{3,-1\},\ \{1,-1\}.$$