Упр.20 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

y=x2/(x2+1).

Рассмотрим функцию

$$y=\frac{x^2}{x^2+1}.$$

Найдём область определения. Знаменатель не должен обращаться в нуль:

$$x^2+1\ne 0.$$

Но при любом действительном $x$ имеем $x^2\ge 0$, значит

$$x^2+1>0.$$

Следовательно, функция определена при всех $x\in\mathbb{R}$:

$$D(y)=(-\infty;+\infty).$$

Теперь найдём область значений. Преобразуем выражение:

$$y=\frac{x^2}{x^2+1}=1-\frac{1}{x^2+1}.$$

Так как $x^2+1\ge 1$, то

$$0<\frac{1}{x^2+1}\le 1,$$

значит

$$0\le 1-\frac{1}{x^2+1}<1.$$

Следовательно,

$$0\le y<1.$$

При $x=0$ получаем $y=0$, а значение $y=1$ недостижимо.

Ответ

$$D(y)=(-\infty;+\infty),\qquad E(y)=[0;1).$$