Упр.199 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 199 Докажите, что если

Преобразуем левую часть:

$$ \frac{\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}}{\sqrt{a+b}-\sqrt{a-b}} = \frac{\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}\right)^2}{(a+b)-(a-b)} $$

$$ = \frac{a+b+a-b+2\sqrt{(a+b)(a-b)}}{2b} = \frac{2a+2\sqrt{a^2-b^2}}{2b} = \frac{a+\sqrt{a^2-b^2}}{b} $$

Подставим $$b=\frac{4a}{5}$$:

$$ \frac{a+\sqrt{a^2-\left(\frac{4a}{5}\right)^2}}{\frac{4a}{5}} = \frac{a+\sqrt{a^2-\frac{16a^2}{25}}}{\frac{4a}{5}} = \frac{a+\sqrt{\frac{9a^2}{25}}}{\frac{4a}{5}} $$

Так как $$a>0$$, то $$\sqrt{\frac{9a^2}{25}}=\frac{3a}{5}$$. Тогда

$$ \frac{a+\frac{3a}{5}}{\frac{4a}{5}} = \frac{\frac{8a}{5}}{\frac{4a}{5}} = 2 $$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$2$$