Упр.186 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 186 Докажите, что графику функции у = (2x+5)/(x-3) принадлежат лишь две точки, у которых и абсцисса и ордината — натуральные числа. Найдите координаты этих точек. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 makar9 186 95

Преобразуем функцию:

$$ y=\frac{2x+5}{x-3}=\frac{2x-6+11}{x-3}=2+\frac{11}{x-3}. $$

По условию и абсцисса, и ордината точки должны быть натуральными числами. Тогда число $$\frac{11}{x-3}$$ тоже должно быть натуральным.

Так как $$11$$ — простое число, то возможны только два случая:

$$ x-3=1 \quad \text{или} \quad x-3=11. $$

Отсюда:

$$ x=4 \quad \text{или} \quad x=14. $$

Найдём соответствующие значения $$y$$:

При $$x=4$$:

$$ y=2+\frac{11}{4-3}=2+11=13. $$

При $$x=14$$:

$$ y=2+\frac{11}{14-3}=2+1=3. $$

Следовательно, графику функции принадлежат только две точки с натуральными координатами: $$ (4;13) $$ и $$ (14;3) $$.

Ответ

$$(4;13),\ (14;3).$$