Упр.179 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 179. Упростите выражение

$$ \left(\frac{a-5}{a^2-5a+25}-\frac{12a-61}{a^3+125}\right):\frac{3a-18}{2a^2-10a+50} $$

Разложим знаменатели на множители:

$$ a^3+125=(a+5)(a^2-5a+25), \qquad 2a^2-10a+50=2(a^2-5a+25), $$
$$ 3a-18=3(a-6). $$

Тогда

$$ \left(\frac{a-5}{a^2-5a+25}-\frac{12a-61}{(a+5)(a^2-5a+25)}\right):\frac{3(a-6)}{2(a^2-5a+25)}. $$

Приведём дроби в скобках к общему знаменателю:

$$ \frac{(a-5)(a+5)-(12a-61)}{(a+5)(a^2-5a+25)}. $$

Упростим числитель:

$$ (a-5)(a+5)-(12a-61)=a^2-25-12a+61=a^2-12a+36=(a-6)^2. $$

Получаем:

$$ \frac{(a-6)^2}{(a+5)(a^2-5a+25)}:\frac{3(a-6)}{2(a^2-5a+25)}. $$

Заменим деление умножением на обратную дробь и сократим:

$$ \frac{(a-6)^2}{(a+5)(a^2-5a+25)}\cdot\frac{2(a^2-5a+25)}{3(a-6)} =\frac{2(a-6)}{3(a+5)}. $$

$$ \frac{2(a-6)}{3(a+5)}=\frac{2a-12}{3a+15}. $$

Ответ

$$ \frac{2a-12}{3a+15} $$