Упр.124 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)
а) у = 1×2/3 — 4х + 4; б) у = -1х2/4 + х — 1; в) y = х2 + 3х.
а) $$y=\frac13x^2-4x+4$$
Найдём вершину параболы:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2\cdot \frac13}=6,$$
$$y_0=\frac13\cdot 6^2-4\cdot 6+4=12-24+4=-8.$$
Вершина: $$\left(6;\,-8\right).$$ Ось симметрии: $$x=6.$$
Найдём нули функции:
$$ \frac13x^2-4x+4=0 \\ x^2-12x+12=0 $$
$$ D=12^2-4\cdot 12=144-48=96 $$
$$ x_{1,2}=\frac{12\pm \sqrt{96}}{2}=6\pm 2\sqrt6 $$
Для построения можно взять точки: $$\left(0;4\right),\ \left(3;-5\right),\ \left(9;-5\right).$$
Так как $$a>0,$$ ветви параболы направлены вверх.
Свойства:
$$D(x)=(-\infty;+\infty),$$
$$E(y)=[-8;+\infty),$$
$$y=0 \text{ при } x=6\pm 2\sqrt6,$$
$$y<0 \text{ при } 6-2\sqrt6<x<6+2\sqrt6,$$
$$y>0 \text{ при } x<6-2\sqrt6 \text{ и } x>6+2\sqrt6,$$
$$y \text{ убывает на } (-\infty;6],$$
$$y \text{ возрастает на } [6;+\infty).$$б) $$y=-\frac14x^2+x-1$$
Найдём вершину параболы:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2\cdot \left(-\frac14\right)}=2,$$
$$y_0=-\frac14\cdot 2^2+2-1=-1+2-1=0.$$
Вершина: $$\left(2;\,0\right).$$ Ось симметрии: $$x=2.$$
Для построения можно взять точки: $$\left(4;-1\right),\ \left(6;-4\right),\ \left(8;-9\right).$$
Так как $$a<0,$$ ветви параболы направлены вниз.
Свойства:
$$D(x)=(-\infty;+\infty),$$
$$E(y)=(-\infty;0],$$
$$y=0 \text{ при } x=2,$$
$$y<0 \text{ при } x<2 \text{ и } x>2,$$
$$y \text{ возрастает на } (-\infty;2],$$
$$y \text{ убывает на } [2;+\infty).$$в) $$y=x^2+3x$$
Найдём вершину параболы:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2}=-1{,}5,$$
$$y_0=(-1{,}5)^2+3\cdot (-1{,}5)=2{,}25-4{,}5=-2{,}25.$$
Вершина: $$\left(-1{,}5;\,-2{,}25\right).$$ Ось симметрии: $$x=-1{,}5.$$
Нули функции:
$$ x^2+3x=0 \\ x(x+3)=0 $$
$$ x=-3 \text{ или } x=0 $$
Для построения можно взять точки: $$\left(-1;-2\right),\ \left(0;0\right),\ \left(1;4\right).$$
Так как $$a>0,$$ ветви параболы направлены вверх.
Свойства:
$$D(x)=(-\infty;+\infty),$$
$$E(y)=[-2{,}25;+\infty),$$
$$y=0 \text{ при } x=-3 \text{ и } x=0,$$
$$y<0 \text{ при } -3<x<0,$$
$$y>0 \text{ при } x<-3 \text{ и } x>0,$$
$$y \text{ убывает на } (-\infty;-1{,}5],$$
$$y \text{ возрастает на } [-1{,}5;+\infty).$$
Ответ
а) Вершина $$\left(6;\,-8\right)$$, нули $$x=6\pm 2\sqrt6$$, $$E(y)=[-8;+\infty).$$
б) Вершина $$\left(2;\,0\right)$$, $$E(y)=(-\infty;0].$$
в) Вершина $$\left(-1{,}5;\,-2{,}25\right)$$, нули $$x=-3$$ и $$x=0$$, $$E(y)=[-2{,}25;+\infty).$$
