Упр.123 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

а) значение у при х = -2,3; -0,5; 1,2;
б) значения х, при которых у = -4; -1; 1,7;
в) нули функции и промежутки знакопостоянства;
г) промежутки возрастания и убывания функции, наименьшее значение функции.

Функция $$y=2x^2+8x+2$$ — квадратичная, её график является параболой, ветви направлены вверх, так как $$a=2>0$$.

Найдём вершину параболы:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{8}{2\cdot 2}=-2,$$

$$y_0=2\cdot(-2)^2+8\cdot(-2)+2=8-16+2=-6.$$

Значит, вершина параболы имеет координаты $$(-2;\,-6)$$, а ось симметрии — прямая $$x=-2$$.

Для построения удобно взять несколько точек:

По этим точкам строим параболу с вершиной $$(-2;\,-6)$$.

а) По графику получаем:

$$y(-2{,}3)\approx -5{,}8,\quad y(-0{,}5)\approx -1{,}5,\quad y(1{,}2)\approx 14{,}5.$$

б) Найдём значения $$x$$, при которых функция принимает заданные значения:

$$2x^2+8x+2=-4 \;\Rightarrow\; 2x^2+8x+6=0 \;\Rightarrow\; x^2+4x+3=0,$$

$$x_1=-3,\quad x_2=-1.$$

$$2x^2+8x+2=-1 \;\Rightarrow\; 2x^2+8x+3=0,$$

$$x_{1,2}=\frac{-8\pm\sqrt{64-24}}{4}=\frac{-8\pm\sqrt{40}}{4}=-2\pm\frac{\sqrt{10}}{2},$$

то есть $$x\approx -3{,}6$$ и $$x\approx -0{,}4.$$

$$2x^2+8x+2=1{,}7 \;\Rightarrow\; 2x^2+8x+0{,}3=0,$$

$$x_{1,2}=\frac{-8\pm\sqrt{64-2{,}4}}{4}=\frac{-8\pm\sqrt{61{,}6}}{4},$$

откуда $$x\approx -3{,}9$$ и $$x\approx -0{,}1.$$

в) Нули функции найдём из уравнения:

$$2x^2+8x+2=0 \;\Rightarrow\; x^2+4x+1=0,$$

$$x_{1,2}=\frac{-4\pm\sqrt{16-4}}{2}=-2\pm\sqrt{3}.$$

Следовательно, нули функции:

$$x_1=-2-\sqrt{3}\approx -3{,}7,\quad x_2=-2+\sqrt{3}\approx -0{,}3.$$

Так как ветви параболы направлены вверх, то:

$$y>0 \text{ при } x<-3{,}7 \text{ и } x>-0{,}3,$$

$$y<0 \text{ при } -3{,}7<x<-0{,}3.$$

г) Парабола убывает до вершины и возрастает после неё:

$$\text{убывает на } (-\infty;\,-2],$$

$$\text{возрастает на } [-2;\,+\infty).$$

Наименьшее значение функции равно значению в вершине:

$$y_{\min}=-6.$$

Ответ

а) $$y(-2{,}3)\approx -5{,}8,\; y(-0{,}5)\approx -1{,}5,\; y(1{,}2)\approx 14{,}5.$$

б) При $$y=-4$$: $$x=-3,\,-1$$; при $$y=-1$$: $$x\approx -3{,}6,\,-0{,}4$$; при $$y=1{,}7$$: $$x\approx -3{,}9,\,-0{,}1.$$

в) Нули функции: $$x=-2-\sqrt{3}\approx -3{,}7$$ и $$x=-2+\sqrt{3}\approx -0{,}3.$$ Знак функции: $$y>0$$ при $$x<-3{,}7$$ и $$x>-0{,}3$$, $$y<0$$ при $$-3{,}7<x<-0{,}3.$$

г) Функция убывает на $$(-\infty;\,-2]$$, возрастает на $$[-2;\,+\infty)$$, наименьшее значение $$-6$$.