Упр.122 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

а) значение функции при х = 2,5; -0,5; -3;
б) значения аргумента, при которых у = 6; 0; -2;
в) нули функции и промежутки знакопостоянства;
г) промежутки возрастания и убывания функции, область значений функции.

Дана функция $$y=-x^2+2x+8.$$ Так как $$a=-1<0,$$ график — парабола, ветви которой направлены вниз.

Найдём вершину параболы:

$$x_0=\frac{-b}{2a}=\frac{-2}{2\cdot(-1)}=1,$$

$$y_0=-1^2+2\cdot1+8=9.$$

Значит, вершина параболы — точка $$\,(1;9)\,,$$ ось симметрии: $$x=1.$$

Для построения удобно взять несколько точек:

По этим точкам строим параболу.

а) Находим значения функции:

$$y(2{,}5)=-(2{,}5)^2+2\cdot2{,}5+8=-6{,}25+5+8=6{,}75,$$

$$y(-0{,}5)=-(-0{,}5)^2+2\cdot(-0{,}5)+8=-0{,}25-1+8=6{,}75,$$

$$y(-3)=-(-3)^2+2\cdot(-3)+8=-9-6+8=-7.$$

б) Найдём значения аргумента при заданных значениях функции.

При $$y=6$$:

$$-x^2+2x+8=6,$$

$$x^2-2x-2=0,$$

$$x=\frac{2\pm\sqrt{4+8}}{2}=1\pm\sqrt{3}.$$

Значит, $$x_1=1-\sqrt{3},\; x_2=1+\sqrt{3}.$$

При $$y=0$$:

$$-x^2+2x+8=0,$$

$$x^2-2x-8=0,$$

$$x=-2,\; x=4.$$

При $$y=-2$$:

$$-x^2+2x+8=-2,$$

$$x^2-2x-10=0,$$

$$x=\frac{2\pm\sqrt{4+40}}{2}=1\pm\sqrt{11}.$$

Значит, $$x_1=1-\sqrt{11},\; x_2=1+\sqrt{11}.$$

в) Нули функции: $$x=-2$$ и $$x=4.$$

Так как ветви параболы направлены вниз, то:

$$y>0 \text{ при } -2<x<4,$$

$$y<0 \text{ при } x<-2 \text{ или } x>4.$$

г) Функция возрастает на $$(-\infty;1],$$ убывает на $$[1;+\infty).$$

Наибольшее значение функции равно $$9,$$ поэтому область значений:

$$(-\infty;9].$$

Ответ

а) $$y(2{,}5)=6{,}75,$$ $$y(-0{,}5)=6{,}75,$$ $$y(-3)=-7.$$

б) При $$y=6$$: $$x=1-\sqrt{3},\; 1+\sqrt{3};$$ при $$y=0$$: $$x=-2,\; 4;$$ при $$y=-2$$: $$x=1-\sqrt{11},\; 1+\sqrt{11}.$$

в) Нули функции: $$x=-2$$ и $$x=4.$$ Знак функции: $$y>0$$ при $$-2<x<4,$$ $$y<0$$ при $$x<-2$$ или $$x>4.$$

г) Возрастает на $$(-\infty;1],$$ убывает на $$[1;+\infty),$$ область значений $$(-\infty;9].$$