Упр.1090 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Задача

а) ху2 < х; б) у2 - х2у + 2x2 > 2у;
в) x3+xy2-4x < =0; г) x2y+y3-y > =0.

Подробный ответ

а) $$xy^2<x$$
Перенесём всё в одну сторону и вынесем $x$ за скобку:
$$x(y^2-1)<0.$$
Произведение отрицательно, когда множители разных знаков.
Если $$x>0,$$ то $$y^2-1<0,$$ значит $$-1<y<1.$$
Если $$x<0,$$ то $$y^2-1>0,$$ значит $$y<-1$$ или $$y>1.$$
Граница не входит, так как неравенство строгое.
б) $$y^2-x^2y+2x^2>2y$$
Перенесём всё в одну сторону и сгруппируем:
$$y^2-x^2y-2y+2x^2>0$$
$$y^2-y(x^2+2)+2x^2>0$$
$$y^2-y(x^2+2)+2x^2=(y-2)(y-x^2).$$
Тогда
$$ (y-2)(y-x^2)>0.$$
Произведение положительно, когда оба множителя одного знака:
если $$y>2,$$ то $$y-x^2>0,$$ значит $$y>x^2$$;
если $$y<2,$$ то $$y-x^2<0,$$ значит $$y<x^2.$$
Итак, множество точек задаётся условиями: выше параболы $$y=x^2$$ при $$y>2$$ и ниже параболы $$y=x^2$$ при $$y<2.$$
в) $$x^3+xy^2-4x\le 0$$
Вынесем $x$ за скобку:
$$x(x^2+y^2-4)\le 0.$$
Рассмотрим случаи.
Если $$x>0,$$ то
$$x^2+y^2-4\le 0,$$
то есть
$$x^2+y^2\le 4.$$
Если $$x<0,$$ то
$$x^2+y^2-4\ge 0,$$
то есть
$$x^2+y^2\ge 4.$$
При $$x=0$$ неравенство выполняется при любых $y$.
г) $$x^2y+y^3-y\ge 0$$
Вынесем $y$ за скобку:
$$y(x^2+y^2-1)\ge 0.$$
Рассмотрим случаи.
Если $$y\ge 0,$$ то
$$x^2+y^2-1\ge 0,$$
то есть
$$x^2+y^2\ge 1.$$
Если $$y\le 0,$$ то
$$x^2+y^2-1\le 0,$$
то есть
$$x^2+y^2\le 1.$$
Значит, искомое множество состоит из точек выше оси $Ox$ вне круга радиуса $1$ и из точек ниже оси $Ox$ внутри этого круга.