Упр.1088 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1088 Докажите, что не существует натурального числа, которое от перестановки первой цифры в конец числа увеличилось бы в 5 раз. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 makar9 1088 95

Пусть исходное число имеет вид $$N=a_1a_2a_3\dots a_n,$$ где $$a_1\neq 0.$$

После перестановки первой цифры в конец получим число

$$M=a_2a_3\dots a_na_1.$$

По условию должно выполняться

$$M=5N.$$

Но при умножении натурального числа на $$5$$ последняя цифра произведения может быть только $$0$$ или $$5$$. Значит, последняя цифра числа $$M$$ равна $$0$$ или $$5$$.

С другой стороны, последняя цифра числа $$M$$ — это первая цифра числа $$N$$, то есть $$a_1.$$ Следовательно, $$a_1=5$$, так как первая цифра натурального числа не может быть равна $$0$$.

Тогда число $$N$$ имеет вид

$$N=5a_2a_3\dots a_n,$$

а число после перестановки первой цифры в конец:

$$M=a_2a_3\dots a_n5.$$

Запишем их через число $$x=a_2a_3\dots a_n$$:

$$N=5\cdot 10^k+x,\qquad M=10x+5,$$

где $$k$$ — число цифр в записи $$x.$$ Тогда из равенства $$M=5N$$ получаем

$$10x+5=5(5\cdot 10^k+x).$$

Отсюда

$$10x+5=25\cdot 10^k+5x,$$

$$5x=25\cdot 10^k-5,$$

$$x=5\cdot 10^k-1.$$

Но число $$x$$ должно иметь ровно $$k$$ цифр, а число $$5\cdot 10^k-1$$ имеет $$k+1$$ цифр. Противоречие.

Значит, натурального числа, которое при перестановке первой цифры в конец увеличивается в $$5$$ раз, не существует.

Ответ

Такого натурального числа не существует.