Упр.1087 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1087 Найдите два натуральных числа, разность квадратов которых равна 45. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 makar9 1087 95

Пусть $$x$$ и $$y$$ — натуральные числа, причём $$x>y$$. Тогда

$$x^2-y^2=45$$

Разложим разность квадратов на множители:

$$x^2-y^2=(x-y)(x+y)=45$$

Так как $$x-y$$ и $$x+y$$ — натуральные числа, найдём пары делителей числа $$45$$ одного чётности:

$$45=1\cdot 45=3\cdot 15=5\cdot 9$$

Рассмотрим эти случаи.

1) $$x-y=1,\; x+y=45$$

$$ \begin{aligned} x-y&=1 \\ x+y&=45 \end{aligned} $$

Складываем уравнения:

$$2x=46,\quad x=23$$

Тогда $$y=22$$.

2) $$x-y=3,\; x+y=15$$

$$ \begin{aligned} x-y&=3 \\ x+y&=15 \end{aligned} $$

Складываем уравнения:

$$2x=18,\quad x=9$$

Тогда $$y=6$$.

3) $$x-y=5,\; x+y=9$$

$$ \begin{aligned} x-y&=5 \\ x+y&=9 \end{aligned} $$

Складываем уравнения:

$$2x=14,\quad x=7$$

Тогда $$y=2$$.

Ответ

$$(23;22),\ (9;6),\ (7;2)$$