Упр.1084 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1084 Найдите наименьшее четырёхзначное число, которое после умножения на 21 станет квадратом натурального числа. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 makar9 1084 95

Подробный ответ

Разложим число $$21$$ на простые множители:

$$21=3\cdot 7.$$

Чтобы произведение четырёхзначного числа на $$21$$ было квадратом натурального числа, в разложении этого числа должны быть чётные показатели степеней простых множителей. Значит, искомое число должно содержать множители $$3$$ и $$7$$ в нечётных степенях, а остальные простые множители — в чётных.

Проверим наименьшие четырёхзначные числа, кратные $$21$$, которые могут дать квадрат:

$$21\cdot 5^2=21\cdot 25=525,$$

$$21\cdot 6^2=21\cdot 36=756,$$

$$21\cdot 7^2=21\cdot 49=1029.$$

Проверим:

$$1029\cdot 21=21609=147^2.$$

Число $$1029$$ — четырёхзначное и является наименьшим, для которого произведение с $$21$$ даёт квадрат натурального числа.