Упр.1083 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

(5 + 10n+ 1)(1 + 10 + … + 10n) + 1
при любом натуральном п можно представить в виде квадрата натурального числа.

Обозначим сумму геометрической прогрессии:

$$1+10+\dots+10^n=\frac{10^{n+1}-1}{10-1}=\frac{10^{n+1}-1}{9}.$$

Тогда данное выражение равно

$$ (5+10^{n+1})(1+10+\dots+10^n)+1 = (5+10^{n+1})\cdot \frac{10^{n+1}-1}{9}+1. $$

Приведём к общему знаменателю:

$$ (5+10^{n+1})\cdot \frac{10^{n+1}-1}{9}+1 = \frac{(5+10^{n+1})(10^{n+1}-1)+9}{9}. $$

Раскроем скобки:

$$ \frac{5\cdot 10^{n+1}-5+10^{2n+2}-10^{n+1}+9}{9} = \frac{10^{2n+2}+4\cdot 10^{n+1}+4}{9}. $$

Заметим, что числитель — полный квадрат:

$$ 10^{2n+2}+4\cdot 10^{n+1}+4=(10^{n+1}+2)^2. $$

Значит,

$$ (5+10^{n+1})(1+10+\dots+10^n)+1 = \left(\frac{10^{n+1}+2}{3}\right)^2. $$

Следовательно, значение выражения при любом натуральном $n$ является квадратом натурального числа.

Ответ

$$ \left(\frac{10^{n+1}+2}{3}\right)^2 $$
— квадрат натурального числа.