Упр.1082 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1082 Найдите при любом натуральном n значение выражения *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 makar9 1082 95

Рассмотрим числитель и знаменатель подкоренного выражения:

$$1\cdot 2\cdot 4+2\cdot 4\cdot 8+\cdots+n\cdot 2n\cdot 4n$$
и
$$1\cdot 3\cdot 9+2\cdot 6\cdot 18+\cdots+n\cdot 3n\cdot 9n.$$

Вынесем общие множители:

$$1\cdot 2\cdot 4+2\cdot 4\cdot 8+\cdots+n\cdot 2n\cdot 4n =2\cdot 4\,(1^3+2^3+\cdots+n^3),$$
$$1\cdot 3\cdot 9+2\cdot 6\cdot 18+\cdots+n\cdot 3n\cdot 9n =3\cdot 9\,(1^3+2^3+\cdots+n^3).$$

Тогда исходное выражение равно

$$ \sqrt[3]{\frac{2\cdot 4\,(1^3+2^3+\cdots+n^3)}{3\cdot 9\,(1^3+2^3+\cdots+n^3)}} = \sqrt[3]{\frac{8}{27}}. $$

$$ \sqrt[3]{\frac{8}{27}}=\frac{2}{3}. $$

Ответ

$$\frac{2}{3}$$