Упр.1081 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1081. Докажите, что при положительных значениях а, b и c верно неравенство

Так как $$a>0,$$ то из неравенства $$\left(a-1\right)^2\ge 0$$ получаем

$$a^2-2a+1\ge 0,$$

откуда

$$a^2+a+1\ge 3a.$$

Делим обе части на $$a>0$$:

$$\frac{a^2+a+1}{a}\ge 3.$$

Аналогично, при $$b>0$$ и $$c>0$$ имеем

$$\frac{b^2+b+1}{b}\ge 3,\qquad \frac{c^2+c+1}{c}\ge 3.$$

Тогда

$$ D=\frac{(a^2+a+1)(b^2+b+1)(c^2+c+1)}{abc} =\frac{a^2+a+1}{a}\cdot \frac{b^2+b+1}{b}\cdot \frac{c^2+c+1}{c}\ge 3\cdot 3\cdot 3=27. $$

Ответ

$$D\ge 27.$$