Упр.1080 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

система
х + у + z = 14,
х + yz = 19.

Из первого уравнения выразим $$x$$:

$$x=14-y-z.$$

Подставим это во второе уравнение:

$$14-y-z+yz=19.$$

Перенесём числа в одну сторону:

$$yz-y-z=5.$$

Прибавим и вычтем $$1$$:

$$yz-y-z+1=6,$$

$$y(z-1)-(z-1)=6,$$

$$(y-1)(z-1)=6.$$

Так как $$x,y,z$$ — натуральные числа, то $$y-1$$ и $$z-1$$ тоже натуральные. Разложим число $$6$$ на пары натуральных множителей:

$$6=1\cdot 6=2\cdot 3=3\cdot 2=6\cdot 1.$$

Получаем четыре случая:

1. $$y-1=1,\ z-1=6 \Rightarrow y=2,\ z=7,$$ тогда $$x=14-2-7=5.$$
2. $$y-1=2,\ z-1=3 \Rightarrow y=3,\ z=4,$$ тогда $$x=14-3-4=7.$$
3. $$y-1=3,\ z-1=2 \Rightarrow y=4,\ z=3,$$ тогда $$x=14-4-3=7.$$
4. $$y-1=6,\ z-1=1 \Rightarrow y=7,\ z=2,$$ тогда $$x=14-7-2=5.$$

Все найденные тройки удовлетворяют системе.

Ответ

$$ (5; 2; 7),\ (7; 3; 4),\ (7; 4; 3),\ (5; 7; 2) $$