Упр.1077 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1077 Докажите, что если х2 + у2 + z2 = ху + yz + zx, то х = у = z. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 makar9 1077 95

Умножим данное равенство на $$2$$:

$$2x^2+2y^2+2z^2=2xy+2yz+2zx.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$x^2-2xy+y^2+y^2-2yz+z^2+z^2-2zx+x^2=0.$$

Сгруппируем слагаемые:

$$ (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=0. $$

Каждое из слагаемых неотрицательно, значит их сумма равна нулю только тогда, когда

$$x-y=0,\quad y-z=0,\quad z-x=0.$$

Следовательно,

$$x=y=z.$$

Ответ

$$x=y=z.$$