Упр.1076 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

а) корень 3 степени (5 (корень 2) + 7) — корень 3 степени (5 (корень 2) — 7);
б) корень 3 степени (2 + (корень 5)) + корень 3 степени (2 — (корень 5)).

а) Обозначим

$$ x=\sqrt[3]{5\sqrt2+7}-\sqrt[3]{5\sqrt2-7}. $$

Заметим, что

$$ 5\sqrt2+7=(1+\sqrt2)^3,\qquad 5\sqrt2-7=(\sqrt2-1)^3. $$

Тогда

$$ x=\sqrt[3]{(1+\sqrt2)^3}-\sqrt[3]{(\sqrt2-1)^3}=1+\sqrt2-(\sqrt2-1)=2. $$

б) Аналогично:

$$ \sqrt[3]{2+\sqrt5}+\sqrt[3]{2-\sqrt5}. $$

Представим подкоренные выражения в виде кубов:

$$ 2+\sqrt5=\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^3,\qquad 2-\sqrt5=\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^3. $$

Тогда

$$ \sqrt[3]{2+\sqrt5}+\sqrt[3]{2-\sqrt5} = \frac{1+\sqrt5}{2}+\frac{1-\sqrt5}{2}=1. $$

Ответ

а) $$2$$;
б) $$1$$.