Упр.1075 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1075 Докажите, что при любом натуральном значении n > 1 верно неравенство *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 makar9 1075 95

Рассмотрим произведение

$$\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot 2n}.$$

Каждый множитель этого произведения меньше 1:

$$\frac12<1,\quad \frac34<1,\quad \frac56<1,\quad \ldots,\quad \frac{2n-1}{2n}<1.$$

Значит, и всё произведение меньше 1:

$$\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot 2n}<1.$$

Теперь преобразуем это же выражение:

$$\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot 2n} =\frac{1}{2^n}\cdot \frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2n-1)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot n}.$$

При этом

$$\frac32>1,\quad \frac53>1,\quad \ldots,\quad \frac{2n-1}{n}>1,$$

поэтому

$$\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2n-1)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot n}>1.$$

Следовательно,

$$\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot 2n}>\frac{1}{2^n}.$$

Так как все числа положительны, то из неравенств

$$\frac{1}{2^n}<\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot 2n}<1$$

получаем после извлечения корня степени $$n$$:

$$\frac12<\sqrt[n]{\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot 2n}}<1.$$

Ответ

$$\frac12<\sqrt[n]{\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot 2n}}<1.$$