Упр.1072 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1072 Докажите, что если стороны треугольника образуют геометрическую прогрессию, то его высоты также образуют геометрическую прогрессию. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 makar9 1072 95

Пусть стороны треугольника равны $$x,\; xq,\; xq^2.$$

Обозначим площадь треугольника через $$S.$$ Тогда для его высот имеем:

$$S=\frac12 \cdot x \cdot h_1=\frac12 \cdot xq \cdot h_2=\frac12 \cdot xq^2 \cdot h_3.$$

Отсюда

$$h_1=\frac{2S}{x}, \qquad h_2=\frac{2S}{xq}, \qquad h_3=\frac{2S}{xq^2}.$$

Проверим отношение соседних высот:

$$\frac{h_2}{h_1}=\frac{2S}{xq}:\frac{2S}{x}=\frac{1}{q},$$

$$\frac{h_3}{h_2}=\frac{2S}{xq^2}:\frac{2S}{xq}=\frac{1}{q}.$$

Так как отношения соседних членов равны, то $$h_1,\; h_2,\; h_3$$ образуют геометрическую прогрессию.

Ответ

Высоты треугольника образуют геометрическую прогрессию.