Упр.1071 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1071. Пусть а1, а2, …— арифметическая прогрессия с положитель ными членами. Докажите, что сумма первых n членов последовательности (хn), где xn=1/(корень an + корень an+1), равна n/(корень a1 + корень an+1).

Пусть $$a_1, a_2, \ldots$$ — арифметическая прогрессия с разностью $$d$$. Тогда

$$a_{n+1}-a_n=d.$$

Рассмотрим общий член последовательности $$x_n$$:

$$ x_n=\frac{1}{\sqrt{a_n}+\sqrt{a_{n+1}}} =\frac{\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_n}}{(\sqrt{a_n}+\sqrt{a_{n+1}})(\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_n})} =\frac{\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_n}}{a_{n+1}-a_n} =\frac{\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_n}}{d}. $$

Тогда сумма первых $$n$$ членов равна

$$ S_n=x_1+x_2+\cdots+x_n =\frac{1}{d}\Bigl((\sqrt{a_2}-\sqrt{a_1})+(\sqrt{a_3}-\sqrt{a_2})+\cdots+(\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_n})\Bigr). $$

Сумма телескопическая, поэтому

$$ S_n=\frac{\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_1}}{d}. $$

Так как $$a_{n+1}-a_1=nd$$, то

$$ S_n=\frac{a_{n+1}-a_1}{d(\sqrt{a_{n+1}}+\sqrt{a_1})} =\frac{nd}{d(\sqrt{a_{n+1}}+\sqrt{a_1})} =\frac{n}{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_{n+1}}}. $$

Ответ

$$S_n=\frac{n}{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_{n+1}}}.$$