Упр.1069 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

1. Известно, что $$y=f(x)$$ — линейная функция и $$x_1, x_2, x_3, \ldots$$ — арифметическая прогрессия. Докажите, что последовательность $$f(x_1), f(x_2), \ldots$$ является арифметической прогрессией.

Линейная функция имеет вид $$f(x)=kx+b,$$ где $$k$$ и $$b$$ — постоянные.

Так как $$x_1, x_2, x_3, \ldots$$ — арифметическая прогрессия, то

$$x_n=x_1+d(n-1).$$

Тогда

$$f(x_n)=k\bigl(x_1+d(n-1)\bigr)+b=kx_1+b+kd(n-1).$$

Найдём разность соседних членов последовательности $$f(x_n)$$:

$$f(x_{n+1})-f(x_n)=\bigl(kx_1+b+kdn\bigr)-\bigl(kx_1+b+kd(n-1)\bigr)=kd.$$

Разность постоянна, значит последовательность $$f(x_1), f(x_2), f(x_3), \ldots$$ является арифметической прогрессией.

Ответ

Последовательность $$f(x_1), f(x_2), f(x_3), \ldots$$ — арифметическая прогрессия, её разность равна $$kd$$.