Упр.1067 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1067 Найдите сумму первых n членов последовательности (хn), если xn=1/(2n-1)(2n+1). *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 makar9 1067 95

Разложим общий член на разность дробей:

$$ x_n=\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac12\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right). $$

Тогда сумма первых $n$ членов имеет вид

$$ S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} =\frac12\left(\frac11-\frac13+\frac13-\frac15+\frac15-\frac17+\cdots+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right). $$

Внутренние слагаемые сокращаются, остаётся

$$ S_n=\frac12\left(1-\frac{1}{2n+1}\right) =\frac12\cdot\frac{2n}{2n+1} =\frac{n}{2n+1}. $$

Ответ

$$\frac{n}{2n+1}$$