Упр.1064 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1064 Существует ли такое двузначное число, которое при делении на сумму квадратов его цифр даёт в частном 2 и в остатке 6, а при делении на произведение цифр даёт в частном 4 и в остатке 6? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 makar9 1064 95

Пусть $$x$$ — цифра десятков, $$y$$ — цифра единиц. Тогда число равно $$10x+y$$.

По условию:

$$ 10x+y=2(x^2+y^2)+6 $$
и
$$ 10x+y=4xy+6. $$

Приравняем правые части:

$$ 2(x^2+y^2)+6=4xy+6 $$
$$ 2x^2+2y^2=4xy $$
$$ x^2-2xy+y^2=0 $$
$$ (x-y)^2=0 $$
$$ x=y. $$

Подставим $$y=x$$ во второе уравнение:

$$ 10x+x=4x^2+6 $$
$$ 4x^2-11x+6=0. $$

Решим квадратное уравнение:

$$ D=(-11)^2-4\cdot 4\cdot 6=121-96=25 $$
$$ x=\frac{11\pm 5}{8}. $$

Получаем:

$$ x_1=\frac{16}{8}=2,\qquad x_2=\frac{6}{8}=\frac34. $$

Так как $$x$$ — цифра, подходит только $$x=2$$. Тогда $$y=2$$.

Ответ

Да, такое число существует: $$22$$.