Упр.1063 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1063 За сколько часов может выполнить работу каждый из трёх рабочих, если производительность труда третьего рабочего равна полусумме производительностей труда первого и второго? Известно, что если бы третий рабочий проработал один 48 ч, то для окончания работы первому потребовалось бы 10 ч, а второму — 15 ч.

Подробный ответ

Пусть первый рабочий может выполнить работу за $$x$$ ч, второй — за $$y$$ ч, третий — за $$z$$ ч. Тогда их производительности равны соответственно $$\frac{1}{x}$$, $$\frac{1}{y}$$ и $$\frac{1}{z}$$.

По условию производительность третьего рабочего равна полусумме производительностей первого и второго:

$$\frac{1}{z}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right).$$

Если третий рабочий проработает один 48 ч, то первому для окончания работы потребуется 10 ч, а второму — 15 ч. Значит, за это время они вместе выполнят всю работу:

$$\frac{48}{z}+\frac{10}{x}=1,$$

$$\frac{48}{z}+\frac{15}{y}=1.$$

Из первого и второго уравнений вычтем одно из другого:

$$\frac{10}{x}-\frac{15}{y}=0,$$

$$\frac{10}{x}=\frac{15}{y},$$

$$2y=3x,$$

$$x=\frac{2}{3}y.$$

Подставим это в условие о производительности:

$$\frac{1}{z}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{3}{2y}+\frac{1}{y}\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{5}{2y}=\frac{5}{4y},$$

откуда

$$z=\frac{4y}{5}.$$

Теперь подставим в уравнение $$\frac{48}{z}+\frac{10}{x}=1$$:

$$\frac{48}{4y/5}+\frac{10}{2y/3}=1,$$

$$\frac{60}{y}+\frac{15}{y}=1,$$

$$\frac{75}{y}=1,$$

$$y=75.$$

Тогда

$$x=\frac{2}{3}\cdot 75=50,$$

$$z=\frac{4}{5}\cdot 75=60.$$