Упр.1062 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1062. Докажите, что при любом а выполняется неравенство

Рассмотрим выражение

$$\frac{a^2-a+1}{a^2+a+1}.$$

Так как

$$a^2+a+1=\left(a+\frac12\right)^2+\frac34>0$$

при любом $$a,$$ то можно умножать неравенства на знаменатель, не меняя знак.

Докажем обе части:

1. $$\frac{a^2-a+1}{a^2+a+1}\ge \frac13.$$

   Тогда

   $$3(a^2-a+1)\ge a^2+a+1,$$

   $$3a^2-3a+3\ge a^2+a+1,$$

   $$2a^2-4a+2\ge 0,$$

   $$2(a-1)^2\ge 0.$$

   Это верно при любом $$a.$$

2. $$\frac{a^2-a+1}{a^2+a+1}\le 3.$$

   Тогда

   $$a^2-a+1\le 3(a^2+a+1),$$

   $$a^2-a+1\le 3a^2+3a+3,$$

   $$0\le 2a^2+4a+2,$$

   $$2(a+1)^2\ge 0.$$

   Это также верно при любом $$a.$$

Следовательно, для любого $$a$$ выполняется

$$\frac13\le \frac{a^2-a+1}{a^2+a+1}\le 3.$$

Ответ

$$\frac13\le \frac{a^2-a+1}{a^2+a+1}\le 3.$$