Упр.1061 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1061 Найдите значение m, при котором корни уравнения x3 — 9х2 + mx -15 = 0 образуют арифметическую прогрессию. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 makar9 1061 95

Обозначим корни уравнения через $$x_1, x_2, x_3$$. По теореме Виета для уравнения

$$x^3-9x^2+mx-15=0$$

имеем:

$$x_1+x_2+x_3=9,$$

$$x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=m,$$

$$x_1x_2x_3=15.$$

Так как корни образуют арифметическую прогрессию, пусть

$$x_1=a-d,\quad x_2=a,\quad x_3=a+d.$$

Тогда

$$x_1+x_2+x_3=(a-d)+a+(a+d)=3a=9,$$

откуда

$$a=3.$$

Используем произведение корней:

$$x_1x_2x_3=(3-d)\cdot 3 \cdot (3+d)=3(9-d^2)=15.$$

Следовательно,

$$9-d^2=5,$$

$$d^2=4.$$

Теперь найдём $$m$$:

$$m=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=(3-d)\cdot 3+(3-d)(3+d)+3(3+d).$$

Упростим:

$$m=9-3d+9-d^2+9+3d=27-d^2.$$

Так как $$d^2=4$$, получаем

$$m=27-4=23.$$

Ответ

$$23$$