Упр.1059 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1059 Знаменатель обыкновенной дроби меньше квадрата её числителя на 1. Если числитель и знаменатель этой дроби увеличить на 2, то значение дроби станет больше 1/4, а если числитель и знаменатель уменьшить на 3, то значение дроби станет меньше 1/10. Найдите такие дроби. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 makar9 1059 95

Пусть числитель дроби равен $$x$$, а знаменатель — $$y$$. По условию

$$y=x^2-1.$$

Тогда получаем систему неравенств:

$$ \frac{x+2}{y+2}>\frac14, \qquad \frac{x-3}{y-3}<\frac1{10}. $$

Подставим $$y=x^2-1$$.

1) Первое неравенство:

$$ \frac{x+2}{x^2+1}>\frac14 $$

$$ 4x+8>x^2+1 $$

$$ x^2-4x-7<0. $$

Найдём корни уравнения $$x^2-4x-7=0$$:

$$ D=16+28=44,\qquad x=2\pm \sqrt{11}. $$

Значит,

$$ 2-\sqrt{11}<x<2+\sqrt{11}. $$

2) Второе неравенство:

$$ \frac{x-3}{x^2-4}<\frac1{10} $$

$$ 10(x-3)<x^2-4 $$

$$ x^2-10x+26>0. $$

Так как

$$ x^2-10x+26=(x-5)^2+1>0 $$

при любом $$x$$, то остаётся учесть, что знаменатель не равен нулю:

$$ x^2-4\ne 0 \quad \Rightarrow \quad x\ne \pm 2. $$

Из найденного промежутка подходят целые значения $$x=3,4,5$$.

Тогда

$$ y=3^2-1=8,\qquad y=4^2-1=15,\qquad y=5^2-1=24. $$

Искомые дроби:

$$ \frac38,\ \frac4{15},\ \frac5{24}. $$

Ответ

$$\frac38,\ \frac4{15},\ \frac5{24}$$