Упр.1055 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1055.Решите уравнение (х + З)4 + (х + 5)4 = 4. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 makar9 1055 95

Положим $$y=x+4.$$ Тогда $$x+3=y-1,$$ $$x+5=y+1,$$ и уравнение принимает вид

$$ (y-1)^4+(y+1)^4=4. $$

Раскроем скобки:

$$ (y^4-4y^3+6y^2-4y+1)+(y^4+4y^3+6y^2+4y+1)=4, $$

$$ 2y^4+12y^2+2=4, $$

$$ 2y^4+12y^2-2=0, $$

$$ y^4+6y^2-1=0. $$

Обозначим $$t=y^2,\ t\ge 0.$$ Тогда получаем квадратное уравнение

$$ t^2+6t-1=0. $$

Найдём корни:

$$ D=6^2-4\cdot 1\cdot(-1)=36+4=40, $$

$$ t=\frac{-6\pm\sqrt{40}}{2}=\frac{-6\pm 2\sqrt{10}}{2}=-3\pm\sqrt{10}. $$

Так как $$t\ge 0,$$ подходит только

$$ t=\sqrt{10}-3. $$

Значит,

$$ y^2=\sqrt{10}-3, $$

откуда

$$ y=\pm\sqrt{\sqrt{10}-3}. $$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$ x+4=\pm\sqrt{\sqrt{10}-3}, $$

$$ x=\pm\sqrt{\sqrt{10}-3}-4. $$

Ответ

$$x=-4+\sqrt{\sqrt{10}-3},\quad x=-4-\sqrt{\sqrt{10}-3}.$$