Упр.1053 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

система
x3-y3=19(x-y),
x3+y3=7(x+y).

Преобразуем уравнения, используя формулы суммы и разности кубов:

$$x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2),$$
$$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2).$$

Тогда система принимает вид:

$$ \begin{cases} (x-y)(x^2+xy+y^2)=19(x-y),\\ (x+y)(x^2-xy+y^2)=7(x+y). \end{cases} $$

Рассмотрим возможные случаи.

1. Если $$x-y=0$$ и $$x+y=0,$$ то $$x=0,\ y=0.$$ Проверка подходит.

2. Если $$x=y,$$ то из второго уравнения получаем:

   $$ (x+x)(x^2-x^2+x^2)=7(x+x) $$
   $$ 2x\cdot x^2=14x $$
   $$ x^2=7. $$

   Значит, $$x=\pm\sqrt7,\ y=\pm\sqrt7.$$

3. Если $$x=-y,$$ то из первого уравнения получаем:

   $$ (x-(-x))(x^2+x(-x)+(-x)^2)=19(x-(-x)) $$
   $$ 2x\cdot x^2=38x $$
   $$ x^2=19. $$

   Значит, $$x=\pm\sqrt{19},\ y=\mp\sqrt{19}.$$

4. Если $$x\neq y$$ и $$x\neq -y,$$ то можно сократить на $$x-y$$ и $$x+y$$:

   $$ \begin{cases} x^2+xy+y^2=19,\\ x^2-xy+y^2=7. \end{cases} $$

   Вычтем второе уравнение из первого:

   $$2xy=12,\quad xy=6.$$

   Сложим уравнения:

   $$2x^2+2y^2=26,\quad x^2+y^2=13.$$

   Тогда

   $$ (x+y)^2=x^2+2xy+y^2=13+12=25, $$
   $$ x+y=\pm5. $$

   Решаем систему $$x+y=\pm5,\ xy=6.$$ Получаем пары $$x=2,\ y=3$$ или $$x=3,\ y=2,$$ а также $$x=-2,\ y=-3$$ или $$x=-3,\ y=-2.$$

Объединяя все найденные решения, получаем:

$$(0,0),\ (\sqrt7,\sqrt7),\ (-\sqrt7,-\sqrt7),\ (\sqrt{19},-\sqrt{19}),\ (-\sqrt{19},\sqrt{19}),\ (2,3),\ (3,2),\ (-2,-3),\ (-3,-2).$$

Ответ

$$(0,0),\ (\sqrt7,\sqrt7),\ (-\sqrt7,-\sqrt7),\ (\sqrt{19},-\sqrt{19}),\ (-\sqrt{19},\sqrt{19}),\ (2,3),\ (3,2),\ (-2,-3),\ (-3,-2).$$