Упр.1052 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

a) система
(x2 + у2)(х — у) = 447,
ху(х — у) = 210;
б) система
ху(х+y)= 30,
x3 + у3 = 35.

а) Обозначим $$s=x-y.$$ Тогда из системы

$$ \begin{cases} (x^2+y^2)(x-y)=447,\\ xy(x-y)=210 \end{cases} $$

получаем

$$ \begin{cases} (x^2+y^2)s=447,\\ xys=210. \end{cases} $$

Так как $$s\neq 0,$$ разделим первое уравнение на второе:

$$ \frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{447}{210}=\frac{149}{70}. $$

Умножим на $$70xy$$:

$$ 70x^2+70y^2=149xy, $$

то есть

$$ 70x^2-149xy+70y^2=0. $$

Рассмотрим это как квадратное уравнение относительно $$x$$:

$$ 70x^2-149yx+70y^2=0. $$

Тогда

$$ D=(149y)^2-4\cdot 70\cdot 70y^2=2601y^2=(51y)^2. $$

Следовательно,

$$ x=\frac{149y\pm 51y}{140}. $$

Получаем два случая:

$$ x=\frac{7y}{10} $$

или

$$ x=\frac{10y}{7}. $$

1) Если $$x=\frac{7y}{10},$$ то из $$xy(x-y)=210$$ имеем

$$ \frac{7y}{10}\cdot y\left(\frac{7y}{10}-y\right)=210, $$

$$ \frac{7y}{10}\cdot y\cdot\left(-\frac{3y}{10}\right)=210, $$

$$ -\frac{21}{100}y^3=210, $$

$$ y^3=-1000,\quad y=-10. $$

Тогда

$$ x=\frac{7\cdot(-10)}{10}=-7. $$

2) Если $$x=\frac{10y}{7},$$ то

$$ \frac{10y}{7}\cdot y\left(\frac{10y}{7}-y\right)=210, $$

$$ \frac{10y}{7}\cdot y\cdot\frac{3y}{7}=210, $$

$$ \frac{30}{49}y^3=210, $$

$$ y^3=343,\quad y=7. $$

Тогда

$$ x=\frac{10\cdot 7}{7}=10. $$

б) Используем формулу

$$ x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2). $$

Тогда система принимает вид

$$ \begin{cases} xy(x+y)=30,\\ (x+y)(x^2-xy+y^2)=35. \end{cases} $$

Разделим второе уравнение на первое:

$$ \frac{x^2-xy+y^2}{xy}=\frac{35}{30}=\frac{7}{6}. $$

То есть

$$ \frac{x}{y}+\frac{y}{x}-1=\frac{7}{6}. $$

Пусть $$a=\frac{x}{y}.$$ Тогда

$$ a+\frac{1}{a}-1=\frac{7}{6}, $$

$$ 6a^2-13a+6=0. $$

Находим корни:

$$ D=13^2-4\cdot 6\cdot 6=25, $$

$$ a_1=\frac{13+5}{12}=\frac{3}{2},\qquad a_2=\frac{13-5}{12}=\frac{2}{3}. $$

1) Если $$\frac{x}{y}=\frac{2}{3},$$ то $$x=\frac{2}{3}y.$$ Подставим в $$xy(x+y)=30$$:

$$ \frac{2}{3}y\cdot y\left(\frac{2}{3}y+y\right)=30, $$

$$ \frac{2}{3}y^2\cdot \frac{5}{3}y=30, $$

$$ \frac{10}{9}y^3=30, $$

$$ y^3=27,\quad y=3,\quad x=2. $$

2) Если $$\frac{x}{y}=\frac{3}{2},$$ то $$x=\frac{3}{2}y.$$ Тогда

$$ \frac{3}{2}y\cdot y\left(\frac{3}{2}y+y\right)=30, $$

$$ \frac{3}{2}y^2\cdot \frac{5}{2}y=30, $$

$$ \frac{15}{4}y^3=30, $$

$$ y^3=8,\quad y=2,\quad x=3. $$

Ответ

а) $$(-7;\,-10),\ (10;\,7)$$; б) $$ (2;\,3),\ (3;\,2) $$.