Упр.1050 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1050. При каких значениях а биквадратное уравнение х4 + ах2 + а — 1=0 имеет лишь два различных корня? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 makar9 1050 95

Положим $$t=x^2.$$ Тогда уравнение принимает вид

$$t^2+at+a-1=0.$$

Чтобы биквадратное уравнение имело два различных корня по переменной $$x$$, уравнение относительно $$t$$ должно иметь два различных корня, причём только один из них должен быть положительным. Тогда из положительного корня получится два различных значения $$x$$: $$x=\pm\sqrt{t}$$, а из отрицательного корня действительных значений $$x$$ не будет.

Найдём дискриминант:

$$D=a^2-4(a-1)=a^2-4a+4=(a-2)^2.$$

Корни уравнения относительно $$t$$:

$$t_{1,2}=\frac{-a\pm|a-2|}{2}.$$

Чтобы был ровно один положительный корень, нужно, чтобы произведение корней было отрицательным:

$$t_1t_2=a-1<0.$$

Отсюда

$$a<1.$$

При $$a<1$$ один из корней уравнения относительно $$t$$ положителен, другой отрицателен, значит исходное биквадратное уравнение имеет ровно два различных действительных корня.

Ответ

$$(-\infty;1).$$